相続税がかからない人がいると聞いたことがあります。財産がいくらまで無税となるのでしょうか？

国税庁の公表している統計によれば、2018年に死亡した人に占める相続税が課された人の割合は8.5％であり、大半の人は相続税がかからないということになります。

相続税には基礎控除と呼ばれる金額があるため、大半の人には相続税がかからないのです。基礎控除とは、一定の金額までは相続税が発生しないこととして、相続人の負担を軽減し、相続後の生活を保証するとともに、税務署の事務負担を軽減するためのものでもあります。
基礎控除の額は「3,000万円＋600万円×法定相続人の数」として計算されます。法定相続人が3人いる場合は、3,000万円＋600万円×3人＝4,800万円が基礎控除の額となりますし、お母様の相続の際は法定相続人が4人であったこととなるため、基礎控除の額は5,400万円となり、財産の額が5,400万円以下である場合には相続税が発生しなかったこととなります。

今回の相続においては、基礎控除の額が前回の相続より少なくなるうえ、お父様はたくさんの財産をお持ちのようですから、亡くなった日から10か月以内に相続税の申告・納税をしなければならないものと思われます。
最終的には、相続財産の評価額の合計が4,800万円を超えるかどうかが判断の分かれ目となりますから、相続財産の相続税評価額を計算したうえで判断するようにしてください。

なお、生前に贈与しておけば相続税がかからなかったのではないかとお考えのようですが、必ずしもそうではありません。というのは、生前に贈与した財産のうち、亡くなる前3年以内に贈与したものについては、その贈与がなかったものとして相続財産の金額を計算しなければならないこととされているためです。
これは、亡くなる直前に駆け込みで贈与を行い、相続税を逃れることを防ぐためのものです。ただ、その贈与について贈与税を支払っている場合には、二重課税にならないように支払った贈与税の額を相続税の額から控除することとされています。

生前にお父様の所有していた財産について名義変更を行っていたとしても、相続税の負担自体に変わりはないため、安心してください。