遺言執行者をやめることはできますか？

遺言によって遺言執行者に指定された人が、実際に遺言執行者に就任するかどうかは、その本人が自由に決めることができます。遺言書には強制力はないため、就任前であれば、その就任自体を拒絶することができるのです。
一方、いったん遺言執行者に就任して人についても、途中で遺言執行者を辞任することはできます。ただ、本人の意思表示だけで辞任できるわけではなく、正式な手続きを踏まなければなりません。

遺言執行者に就任した人が辞任しようとする場合、最初に家庭裁判所に辞任許可審判を申し立てしなければなりません。この時、正当な理由がなければ辞任が認められないのですが、病気や老齢、長期間不在にすることや仕事が多忙であることなどを理由として、辞任が認められるとされています。
ただ、この理由に該当すれば必ず辞任が認められるとは限りません。遺言執行者が就任した事情、相続人や相続財産などから判断した相続手続きの難しさ、遺言執行者として報酬を受けているかなどの状況を総合的に勘案して、家庭裁判所がその辞任を許可するかどうかを判断します。

辞任が許可されると、ほかの利害関係者から不服申し立てをすることはできません。一方、辞任が許可されない場合には、遺言執行者が即時抗告することが認められます。
遺言執行者の辞任が認められると、相続財産の管理処分権は相続人に移ります。そのため、遺言執行者として管理していた相続財産がある場合には、できるだけ早くその財産を相続人に引き渡さなければなりません。また、相続人との関係で執行者の責務を免れるためには遺言執行者を辞任したことを、相続人に伝えておく必要があります。

ご質問にあるように、遺言執行者を引き受けたものの、その後仕事が多忙になったとの理由であれば、辞任が認められるケースに該当する可能性が高いので、家庭裁判所への申し立てを行ってください。